Galton-Brett

1889 - Francis Galton veröffentlichte 1889 unter dem Titel “Natural inheritance” ein Buch in dem u.a. eine anschauliche Darstellung der die Streuung von Messwerten (Deviation) und der Normalverteilung liefert. Unter der Überschrift “Mechanical Illsutration of the Cause of the Curve of Frequency” bechreibt er ab Siete 63 das später nach ihm benannte Galton-Brett (Galton’sches Brett, selterner Galtonisches Brett). Die Abchnittswechsel habe ich eingefügt und sind im Original nicht enthalten, ebenso natürlich die eingeschobenen sinngemäßen deutschen Übersetzungen.

The Curve of Frequency, and that of Distribution, are convertible: therefore if the genesis of either of them can be made clear, that of the other becomes also intelligible. I shall now illustrate the origin of the Curve of Frequency, by means of the apparatus shown in Fig. 7, that mimics in a very pretty way the condition on which Deviation depend.

Die Dichtekurve und die der Verteilung sind in einander überführbar. Hat man demnach sich demnach den urprung der einen klargemacht, so wird die andere ebenfalls verständlich. Ich sollte jetzt den Urpsrung der der Kurve der Dichte anhand des folgenden Apparats illustrieren, der in sehr schöner Weise die Bedingungen imitiert, von die eine streuung abhängt.

It is a frame glazed in front, leaving a depth of about a quarter of an inch behind the glass. Below the outlet of the funnel stand a succession of rows of pins stuck squarely into the backborad, and below there again are a series of vertical compartments. A charge of small shot is inclosed. When the frame is held topsy-turvey, all the shot runs to the upper end; then, when it turned back into the working position, the desired action commences.

Lateral strips, shown in the diagram, have the effect of directing all the shot that had collected at the upper end of the frame to run into the wide mouth of the funnel. The shot passes through the funnel and issuing from its narrow end, scampers deviously down through the pins in a curious and interesting way; each of them darting a step to the right or left, as the case may be, every time it strikes a pin. The pins are disposed in a quincunx fasion, so that every descending shot strikes against a pin in each successive row. The cascade issuing from the funnel broadens a it descends, and, at length, every hot finds itself caught in a compartment immediately after freeing itself from the last row of pins.

The outline of the columns of shot that accumulate in the successive compartments approcimates to the Curve of Frequency (Fig. 3, p. 38), and is closely of the same shape however often the experiment is repeated. The outline of the columns would became more nearly identical withe the Normal Curve of Frequency, if the rows of pins were much more numerous, the shot smaller, and the compartments narrower; also if a larger quantity of shot were used.

Die Umrisse der Säulen der Schrotkugeln die sich in den aufeinanderfolgenden Kammern angesammelt haben ähneln der Dichtekurve und ist immer annähernd von der gleichen Gestalt, egal wie oft das Experiment wiederholt wird. Der Umriss der Säulen wird sich der Dichte der Normalverteilung nähern, wenn die Anzahl der Reihen der Nägel ehr viel größer wird, die Schrotkugeln kleiner, die Kammern enger und eine größere Anzahl an Schrot benutzt wird.

Das Galton-Brett ist eine Tafel, auf der versetzt in mehreren Reihen Stifte aufgebracht sind. Wird nun eine Kugel von oben eingelassen, so rollt sie in jeder Reihe entweder links von einer der Stifte, oder rechts von einem der Stifte herab. Schließlich fällt sie in eines der ganz unten befindlichen Fächer.

Für eine vierreihige Vorrichtung ergeben sich folgende Pfadmöglichkeiten:

LLLL, LLLR, LLRL, LLRR, .. LRLL, LRLR, LRRL, LRRR,
RLLL, RLLR, RLRL, RLRR, .. RRLL, RRLR, RRRL, RRRR

Um in die Kammer ganz links oder ganz rechts außen zu kommen, gibt es jeweils nur eine Möglichkeit: LLLL bzw. RRRR. Die Wahrscheinlichkeit liegt also bei je 1/16. Um dagegen genau in der Mitte zu landen müssen müssen L und R  jeweils gleich oft vorkommen, dafür gibt es die meisten, nämlich 6 Möglichkeiten also mit einer Wahrscheinlichkeit von 3/8.

Wird bei 6 Reihen jeder der 64 Pfade in 64 Versuchen genau einmal getroffen so ergibt sich folgende Verteilung:

Erweitert man das Brett um immer mehr Reihen und führt das Experiment  unendlich oft durch, so glättet sich schließlich die Verteilung und nähert sich der Normalverteilungkurve an.

Dieser Eintrag wurde am 2009-Jul-26 um 14:02 verfasst und befindet sich in Kapitalmarkttheorie, Historie. Sie können alle Antworten zu diesem Eintrag über den Feed RSS 2.0 mitverfolgen. Kommentarfunktion und das Ausführen von Pings sind momentan nicht erlaubt.